האם לגיאומטריה פרויקטיבית תפקיד בפענוח צורות ביולוגיות ובמציאת החוקיות המתמטית שלהן?

"It was through synthetic geometry mainly that I brought myself to the point of consciousness concerning the process of clairvoyance. Naturally, this does not mean that someone who has studied projective geometry is clairvoyant, but that through it one can become clear about the process of spiritual perception. He who approaches mathematics in the right spirit will find that it can be regarded as a model, a pattern, of the way in which the supersensible perception may be achieved. For mathematics is simply a first stage of supersensible perception…"
Rudolf Steiner

מבוא
בעבודה זו אפרוס תמונה של יחסי אדם-עולם שבהם פרספקטיבת הראייה והראייה הפרספקטיבית ממלאות תפקיד חשוב, ואנסה לתאר התפתחות היסטורית צדדית וייחודית של ענף מתמטי עלום ונסתר, הגיאומטריה הפרויקטיבית.
אחד המעברים המעניינים ביותר של תקופת הרנסנס התרחש בתחום הראייה את העולם: האדם החל מצייר יותר את מה שהוא (בדיוק) רואה ופחות את מה שהוא מדמיין שהוא רואה, או את מה שדורש ממנו הציווי הדתי; הציור הפרספקטיבי הפך לתגלית מרתקת של ראשונים כמו ליאונרדו ו-Brunelleschi, ועם השנים התגלתה החוקיות המתמטית שמאחוריו. מתמטיקאים שעסקו בגיאומטריה החליפו במהלך המאות ה-17 וה-18 את הציירים שעבדו עם החוקיות שבפרספקטיבה, והפכו את מה שהאומנים חקרו ולמדו למשפטים מתמטיים, כשהם מגלים ובונים טפח אחר טפח את מה שקרוי כיום גיאומטריה פרויקטיבית (ג"פ). בסוף המאה ה-19 הפך פליקס קליין את הג"פ לאם כל הגיאומטריות (בה הגיאומטריה המדידה של אאוקלידס, למשל, היא מקרה פרטי), כשהיא מגדירה מתמטית את יחסי הגומלין של נקודה, קו ומישור במרחב. את הג"פ גילה באותה תקופה ממשיכו של י.ו. גתה, רודולף שטיינר, שערך את כתביו המדעיים.


שטיינר ראה בתחום מחקרי זה גשר לתפיסה יותר רחבה של עולם הטבע, כזו המאפשרת לאדם להתעלות מעל לתפיסת עולם מכניסטית ומטריאליסטית ולהגיע לתפיסה של עולמות רוחניים. אתאר כאן את דרכם של ממשיכיו אשר בחרו לעסוק במחקר הג"פ והגיעו לתובנות חדשות, כמו למשל George Adams, שפיתח בעידודו של שטיינר את מושג "המרחב הנגדי" (counter space) מתוך החוקיות הדואלית של משפטי הג"פ. Adams היווה השראה ל- Olive Whicher, שהמשיכה את המחקרים שערכה עמו בגילוי החוקיות הגיאומטרית במורפולוגיה של צמחים. חוקר נוסף שעבד בהשראתו של Adams בסקוטלנד היה Lawrence Edwards, שפיתח את עקומי הזרימה (path-curves) בכדי לתאר בעזרת הגיאומטריה שורה ארוכה של צורות ביולוגיות טבעיות. התגליות שלו הזינו כר פורה של מחקרים בתחום אשר קושר בין הצורות הגיאומטריות של איברי הצמח לבין איכות הצמח, והקשר שהוא יוצר לסביבתו בעונות השונות במהלך חייו. השאלה המתבקשת מכאן היא: האם באמת ניתן להיעזר בג"פ בחיזוי ובאפיון איכותני של אורגניזמים?
גילויים ראשונים
כאשר נשאל ע"י המלך ארכילאוס מהי הדרך המהירה והקלה לגיאומטריה, השיב אאוקלידס כי "אין דרך ראשית לגיאומטריה". המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19 Hermann Hankel בוודאי חשב עליו כאשר קבע כי הגיאומטריה הפרויקטיבית (ג"פ) היא 'דרך המלך לכל המתמטיקה' (15, מבוא). נדמה כי ההערכה של Felix Klein (ראה להלן, המפַתחַ העיקרי של הג"פ) כי "יש בתים רבים באחוזתה של המתמטיקה, והבית האלגנטי ביותר הוא זה של הג"פ" (15) מקבלת משמעות עמוקה ככל שאתה עוסק בה יותר ומתנסה בדרך המיוחדת בה היא מטפלת במרחב.
נדמה שכבר פפוס (Pappus) מאלכסנדריה (290-350) ידע לתאר את ההקבלה בין היחס הקבוע בין 4 נקודות במרחב פרויקטיבי, ומצא (כנראה במקרה) את החוקיות שבהקרנה של 3 נקודות שנבחרו אקראית על ממד קווי רביעי. משפט פפוס אומר שאם נבחר 3 נקודות על קו ישר, ועוד 3 נקודות על ישר נוסף, חיבור זוגות הנקודות ייצור קו ישר שלישי (ציור מס' 1).

Pappus theroem
Pappus theroem

משפט פפוס נראה כמו קסם שפועל בכל בחירה שהיא של נקודות על הישר, ולכל מי שראה אותו עד תקופת הרנסנס, לא היה הסבר מניח את הדעת לאוניברסליות שלו. במיוחד לא נמצא כל קשר בינו לבין פרספקטיבה או לאמנות הציור והתפיסה החזותית. כמו כן התפיסה תלת ממדית של הגיאומטריה, שהיא חיונית לעבודת הדמיון בבניות (constructions) של ג"פ, עדיין לא התפתחה בתודעה האנושית, כל עוד נלמדו חוקי גיאומטריית המישור של אאוקלידס. כך נותר משפט פפוס מיותם ומבודד במהלך כ-2000 שנים (14, מבוא).
במהלך הזמן שעבר מאז היה הציור עיסוק דתי בעיקרו, אשר עסק בסימבולים של חוקים ספיריטואליסטים ודתיים. הציירים בדרך כלל לא ניסו ולכן לא הצליחו לצייר את מה שרואות עיניהם, אלא עסקו בסמלים הדתיים של ספרות הקודש, וניסו להעביר מסרים דתיים יותר מאשר תמונות אמיתיות של המציאות. גם בציורי טבע תפסו הציירים את התמונה בצורה דו ממדית, והתקשו לצייר את המראה התלת ממדי המורכב שנתקבל בראייה. הפער בין הרושם מהחושים לבין היכולת לבטא את המתקבל כתמונה על משטח דו-ממדי היה גדול מאד, משל לזמרים שהיו מנסים ללמוד מנגינה משמיעה, אך לא מצליחים לשיר את התווים ואת השתנותם בזמן. הציור הנאיבי, הפשטני, התמים לכאורה והדו-ממדי שלט במהלך ימי הביניים, והראשונים שהחלו לאתגר אותו ולנסות למצוא משמעויות ואפשרויות נוספות בציור היו בני המאה ה-15, שהעזו לבדוק, לגלות ולהמציא דרכי חשיבה ורעיונות חדשים בתחומים רבים נוספים (4).
בהתבוננו בעבודתו של Filippo Brunelleschi, ומתוך כבוד והערצה אליו, מגלה Alberti בשנת 1435 את חוקי הפרספקטיבה וכותב על כך בספרו המיועד כמדריך לציירים. Alberti כבר ידע יותר מתמטיקה מ-Brunelleschi, וראייתו הייתה יותר רחבה בכך שניתח את חוקי הפיזיקה והגיאומטריה של הפרספקטיבה, אך התייחסותו לציור עדיין הייתה כאל אומנות ולא כאל תוצר של חשיבה מדעית הנשענת על החוקיות הגיאומטרית של הפרספקטיבה. עיקר השימוש היה ברשת של ריבועים, בחתך ובהגדלה או הקטנה של המראה על ידי הצייר. הוא עדיין לא מנסח את חוקי השימוש בנקודת המגוז הגיאומטרית, ומושג האינסוף כנקודת מפגש של קווים מקבילים עדיין לא קיים. ליאונרדו שפעל אחרי Alberti, כבר משתמש בעקרון שאומר כי כל קבוצת קווים מקבילים המצויים במציאות של המרחב הנכנס לציור אשר אינם מקבילים למישור התמונה, מתכנסים לנקודה אחת, היא נקודת המגוז (6).
ליאונרדו דה וינצ'י היה מהראשונים שחקרו את הציור בפרספקטיבה על סמך ספרו של Alberti (6). כבר ב-1484 הוא מתחיל לערוך ניסויים ומדידות בפרספקטיבה המתקבלת על לוח זכוכית, ומגיע ליחס אריתמטי הפוך בין מרחקו של גוף לבין גודל בבואתו על לוח החתך הפירמידלי של קרני הראייה. הוא משתמש בכך בציוריו המדויקים של האיברים הפנימיים של האדם אותם חקר, כמו למשל בציורים המדהימים של חתכי הגולגולת. ליאונרדו ניסח כללים לשלושה סוגי פרספקטיבות: לינארית (הרגילה, שתיאר Alberti) וכן זו של הצבע וזו של ההיעלמות, ובנוסף כתב על השפעות טיב האוויר על תרגום המראה לתמונה מצוירת. בכך התקדם מעבר להוראותיו של Alberti, והראה יכולת גבוהה יותר של הפשטה ושל התנתקות מהפרדיגמה של ימי הביניים (6).
במאה ה-16 מתרבים הציירים העוסקים בציור פרפספקטיבי כמו גם חוקרים וחושבים חופשיים, אשר אצלם כבר לא קיימת רק הערצה דתית ואמונה כי הראייה היא מתנת אלוה לטהורים בנפשם, אלא גישה טכנית ומרוחקת יותר לראייה כמנגנון מכני התלוי באור בלבד. הצייר והאומן המיסטי והמיוחד Albrect Durer, אשר צייר נושאים דתיים רבים וגם עסק בין היתר במתמטיקה, מראה בתחריט עץ (the designer of the lute) מ-1525 כיצד משתמש האומן בהקרנה ובחתך בכדי לצייר בדיוק את מה שרואות העיניים (15). בציור מס' 2 נראה האמן מימין כשהוא משרטט נקודה על פי חוט המשוך מהקיר אל הנקודה המתאימה על הלאוטה (כלי פריטה) וכך יוצר בדיוק את התמונה הנראית לעין. העין כאילו שולחת 'קרני ראייה' בצורה של פירמידה (במינוח של Alberti) או קונוס (לפי Pascal ואחרים, להלן) אל החפץ אותו מציירים, ובין העין לחפץ מציבים מסך, שהוא מישור החתך. מסך זה מחליף לכאורה את העין בכך שהוא מרחיק את התמונה הנוצרת בעין אל מישור חיצוני, נגלה יותר, בו ניתן לבצע מדידה ורישום של נקודות שעברו טרנספורמציה מהחפץ אל המסך, עד שהחפץ כולו עובר טרנספורמציה תלת-ממדית, מנקודה מקורית לנקודה מצוירת. כך ניתן היה לנתק את השכל, המנסה לראות את החפץ בכללותו או במראהו ה"רגיל", מן העין, ולבנות תמונה שתהיה חיקוי מדויק למה שמתקבל על מסך העין, בדיוק כפי שהתקבלה על המישור החותך את קונוס הראייה.המתכנן של הלאוטה מאת אלברכט דירר המתכנן של הלאוטה מאת אלברכט דירר
Guidobaldo del Monte פרסם בשנת 1600 בפיזה 6 כרכים של מדריך מפורט לציור בפרספקטיבה הכולל שימוש בנקודת המגוז אליה מתכנסים קווים מקבילים במציאות (1). זוהי העבודה המתמטית הגדולה הראשונה בתחום הג"פ, ועליה התבסס למשל הארכיטקט הנודע Nicola Sabbatini בעבודותיו ובציוריו. כאשר קפלר כותב ב-1604 את מסתו על האופטיקה של האסטרונומיה, בתקופה של אי-וודאות וספקות בקשר למידע המגיע מרשמי הראייה (האם השמש באמת זורחת במזרח?), ניכר ניסיונו להיצמד לעובדות החיצוניות ולחוקים המתמ[טיים, לתכונות האור ולמנגנון קליטתו בעין. תפיסתו את אלוהים היא במקום כללי יותר של השגחה, ארגון ומעין פיקוח על, מבלי להתערב בנפש האדם ובחוקי הטבע הקבועים (1).
כך אנו רואים התרחקות הדרגתית מהציווי הדתי ומהאמונה באל המכוון גם את ראיית האדם, והסתמכות הולכת ונבנית על המתקבל בחושים בלבד, ועל מכשירים המאפשרים לאדם הרציונלי להתנתק מהחושים ולקבל מידע חסר פניות על העולם. הריחוק הדתי הזה, הניכור הרוחני, ההפרדה בין סובייקט לאובייקט ובין אלוהים לאדם, החילוניות והספקנות שהגיעו לשיאם אצל דקרט באמצע המאה ה-17, לא התקבלו אצל כולם באותה מידה של התלהבות. י. ו. גתה מנסה בסוף המאה ה-18 לערוך מחקרים שהם תיאוריים יותר, הנסמכים בעיקר על חוש הראייה ועל קליטה ואיסוף של תכונות רבות של התופעה, ללא ההפרדה בין האדם החושב לבין התופעה. למעשה, גתה טען שהאדם החושב צריך לנסות ולהשתתף כל כולו ברעיון המתגלה בתופעה, וכי התיאוריה כולה מצויה בתופעה עצמה. בכתביו רמז על חשיבות הממד הרוחני-נפשי של האדם הבונה ידע על העולם, כשהוא מבין כי האמת אינה בונה את המציאות במנותק מהחשיבה (11a). גתה פיתח את בסיס התפיסה האפיסטמולוגית אותה אימץ רודולף שטיינר בקידום הג"פ אל תוך המאה ה-20.

מציור לגיאומטריה
עד לרנסנס אף אחד לא התעניין בגיאומטריה שאולי יכולה להיות כוללנית יותר מחוקי ה'יסודות' של אאוקלידס ודרכי ההוכחה שלהם. הראשון כנראה שניסה לאתגר את הגיאומטריה הקשיחה הזו, שעסקה במרחקים, זוויות ושטחים מדידים בלבד, היה ג'ירארד דֶזַארְג (Desargues), שפרסם את שיטותיו ב-1639 מתוך התכוונות לעזור לאמנים ולמהנדסים ביצירותיהם – כך לפחות על פי Felix Klein (1), שמצא וחקר את כתבי Desargues מחדש במאה ה-19 (ראו להלן). הוא פיתח דרכים חדשות להוכחת משפטים גיאומטריים כלליים על חתכים קוניים באמצעות הקרנה (projection) ואת זאת ערך בכוונה מיוחדת עבור חבריו מאותה תקופה, Rene Descart ו-Pascal (האב והבן). Ferma, שהיה גם הוא בן תקופתו של Desargues, העריך מאד את עבודתו וכינה אותו "המייסד האמתי של תורת החתכים הקוניים" (1, Klein, 1874). משפט Desargues קובע כי משולשים המצויים בהקרנה, צלעותיהן המתאימות מתחברות לשלוש נקודות המצויות על קו אחד (ציור מס' 3).

Des'argue theorem
משפט דז'ארג

באותה שנה בדיוק בה התפרסמה עבודתו של Desargues, 1639, Blaise Pascal כותב בגיל 16(!) מחקר קטן ומפליא בדיוקו על החתכים הקוניים השונים: מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה (ציור מס' 4) וממשיך בכך לעבות את הגיאומטריה הפרספקטיבית.

חתכים קוניים

הוא הגיע לרמה גבוהה של הפשטה והכללה, יחסית לגילו הצעיר, תוך מציאת חוקים משותפים לכל החתכים הקוניים, ומנסח חוק שהתפרסם מאד אחר כך כמשפט Pascal (ציור מס' 5): לכל משושה הכלוא בחתך קוני, זוגות צלעותיו מתחברות לשלוש נקודות המצויות על קו אחד (במשושה משוכלל במעגל – נקודות המפגש מצויות על הקו באינסוף, כפי שניסחו Klein וממשיכיו). בכך יצר בסיס מצוין לעבודה עם ג"פ, שעיקר שימושה היה למצוא את החוקיות הצומחת במרחב בעת היווצרות טרנספורמציות פרספקטיביות מהסוג הנ"ל.

משפט פסקל

גם Philippe de la Hire עסק בחתכים קוניים באותו זמן, ועשה עבודה חשובה בהוכחת כל המשפטים של אפולוניוס מאלכסנדריה. אבל צריך לזכור ולהבין כי כל אלה עבדו תחת השראתו של אאוקלידס בגיאומטריית מישור פשוטה יחסית, וההבנה העמוקה של משפטים אלה הושגה רק בהמשך, עם פיתוח ראיית התמונה הכוללת יותר בחקר הג"פ התלת ממדית (1).
למעשה, עבודתם של הראשונים (Desargues, Pascal ובני דורם) נזנחה ונשכחה ליותר מ-100 שנה, אולי בגלל חוסר העניין של פילוסופים ואנשי מדע בנקודות המצויות באינסוף, בהפשטה הדורשת מאמץ חשיבתי מיוחד ואולי בגלל הזנחה של הממד הרעיוני סובייקטיבי של המחקר המדעי. כמו כן נראה כי דקרט הוביל את המדע כולו לכיוון של אנליזה גוברת והולכת בכל התחומים במדעי הטבע, בעוד שהג"פ עוסקת בסינתזה, בהכללה, באיחוד ובהכרה במשותף שבין גופים ולא במפריד אותם (14). סיבה אפשרית נוספת לשכחה זו היא כי הלקסיקון שהשתמשו בו היה יותר קרוב לשפתו של Alberti מאשר לשפתם של חוקרים שבאו אחריו, ולכן יתכן שאחרים פשוט לא הבינו אותו. אולם כפי שקורה בדרך כלל, חוקרים רבים מגיעים להבנות דומות ביחד ובלי קשר ביניהם, כאשר הזמן מתאים לכך, והזמן לפיתוחה של גיאומטריה חדשה וכוללת יותר היה במאה ה-19 ע"י מספר חוקרים במקביל.
כך קורה כי רק בתחילת המאה ה-19, כמעט 200 שנה אחרי Desargues, מנסח Poncelet בשני מאמרים לאקדמיה הצרפתית למדעים (1820, 1822) תיאוריה של ג"פ (1,4). כקצין ומהנדס בצבא נפוליון שהיה מפקד ה'אקול פוליטכניק' שנים רבות, Poncele נחשב לאבי הג"פ המודרנית. הוא הבין כי ניתן להשתמש בישר גם אם לא רואים אותו יותר על דף השרטוט, וניסח לכן את חוק ההמשכיות, בעזרתו ניתן להניח קיומן של נקודות מפגש נסתרות, דמיוניות. כך הגיע Poncele למסקנה כי קווים מקבילים נפגשים בנקודה באינסוף, וגם מישורים מקבילים נפגשים בקו באינסוף, קו שאם נדמיין אותו במלואו יהפוך למעגל באינסוף. הוא הראשון שהשתמש וניסח את חוק דואליות (duality, או לעיתים גם polarity) מתוך ההנחה הפשוטה כי כל שתי נקודות במרחב המגדירות קו מציגות חוקיות דומה לכל שני קווים מצטלבים המגדירים נקודה. כך, משפטים רבים בג"פ ניתנים להפיכה של נקודות לקווים ולהיפך, וניתנים להוכחה בשתי הדרכים הקוטביות בדואליות מושלמת (עד כדי כך שאם הדואליות לא עובדת, יש לבדוק את נכונות המשפט. דוגמאות רבות לבניות דואליות אצל Whicher, 1971).
אולי מעלתו הגדולה ביותר של Poncele, אשר גם הספיק לשבת שנתיים בכלא הרוסי אחרי שנלחם לצד נפוליון ב-1814, הייתה שהצליח להיפטר ולנטוש את הגיאומטריה האנליטית של קודמיו (1,4). בכך סלל דרך מתמטית שונה לגמרי עבור ממשיכיו ובני דורו כמו J. Brianchon, A. F. Mobius , M. Chasles, K. G. K. von Staudt, ו- J. Steiner. אחריהם, לקראת סוף המאה ה-19, היה זה Felix Klein הגרמני בהשראת Arthur Caley האנגלי, אשר הצליח לאחד 3 שיטות גיאומטריות שונות – גיאומטריית המישור של אאוקלידס, ההיפרבולית של Lobachevsky (ואחריו Bolyai ו- Gauss) וגיאומטריית הכדור של Riemann. [מעניין לציין שהשמות הנ"ל הקשורים בפיתוח ה'גיאומטריה החדשה' מראים שילוב בין מזרח למערב: קיילי שנולד ליד לונדון, בילה את 7 שנותיו הראשונות ברוסיה, גאוס מצפון גרמניה, היה חבר של בוליאי, משבדיה, שניים שעבדו במקביל ללובצ'בסקי ברוסיה; והיה זה השוויצרי שטיינר שפיתח והגדיר את התכונות של הג"פ. גם Poncele הביא את תובנותיו לצרפת אחרי שהייה ולימוד ברוסיה (14) – נראה שלפיתוח ה'גיאומטריה החדשה' נדרשה חשיבה אחרת שיכולה הייתה להיוולד רק מצירופים לא שגרתיים של רעיונות מעולמות מחשבה ותרבות שונים].
פיתוח הגיאומטריה הפרויקטיבית
כפי שנאמר, המתמטיקאי המודרני הראשון שחקר את הנושא ובנה את הג"פ כפלטפורמה מאחדת לסוגים רבים של גיאומטריות, אשר נחשבות מקרה פרטי בג"פ, היה Felix Klein (1). בבסיס המניפסט שכתב בתכנית המחקר שלו Erlangen Program (1872), שהוא כנראה הטקסט המפורסם והמצוטט ביותר בתולדות הגיאומטריה המדעית החדשה, עומד רעיון האיחוד של אסכולות הגיאומטריה כקבוצה טרנספורמטיבית (בדגש על אלמנט התנועה בצורניות) תחת המטריה של הג"פ. קליין למד את המשפטים של הראשונים של פפוס, מנלאוס ותלמי, וחקר לעומק את עבודתם של ה'ראשונים' מהמאה ה-18 Desargues, Pascal ו-Ferma, אלה שפיתחו מתמטית את הציור הפרספקטיבי של קודמיהם [ Alberti, ליאונרדו וBrunelleschi]. גדולתו הייתה בראייה הכוללת שפיתח לגיאומטריה, ובאיחוד הגדול של משפטים, רעיונות ותיאוריות שנראו שונות לכאורה, תחת מערכת אחת של הבנות שנקראת מאז ג"פ (1,7).
להבנה פשוטה יחסית של משמעות הג"פ אביא את הדוגמא הבאה, הנשענת על הסברו של Zajonc (1985). כאשר לוקחים צורה מישורית מסוימת כמו משולש ומזיזים אותה, היא יכולה לעבור מספר סוגים של טרנספורמציות. השינוי הפשוט ביותר היא הזזה באותו מישור; המשולש נשאר זהה לגמרי במידותיו, הן בצלעותיו והן בזוויותיו, למשולש המקורי, ובשפתו של אאוקלידס, המשולשים חופפים. שינוי נוסף שיכולה לעבור צורה כזו היא בגדילה, כפי שקורה בגדילתם של ריבועי גבישים, כמו פיריט (FeS2, 'זהב השוטים') למשל, בתוך התמיסה. הצורה נשמרת, הזוויות נשארות זהות, אך הצלעות גדלות כל הזמן בהתרחבות מתמדת (dilation). הג"פ לוקחת עוד צעד, אל מעבר לגיאומטריה האאוקלידית, ומתארת מה קורה כאשר קבועים נוספים הופכים למשתנים והצורות כולן עוברות טרנספורמציה, ומגדירה את החוקיות הנשמרת מעבר לשינוי במידות ובצורה. הטרנספורמציה שעוברת הצורה והתנועה בין הצורות האחיות היא מוקד תשומת הלב של הג"פ, בניגוד למידות ולזוויות של הצורות בגאומטריה האאוקלידית.
כך, העיסוק בג"פ מעביר את המתנסה בה לממד אחר של תפיסה גיאומטרית, שבו יש רק נקודות, קווים ומישורים והיחסים ביניהם, בצורה כזו שהחוקיות נשמרת תוך כדי תנועה, ובלי קשר למדידה או למספרים. הבנייה הגיאומטרית לא דורשת לכן מדידה של זוויות או מרחקים, אלא מעקב אחר מפגשי הקווים בתפיסה איכותנית של הצורות המתמטיות, וניסיון לראות את הקונסטרוקציה גם לעומק, במרחב התלת-ממדי. הג"פ דורשת אקטיביות בחשיבה שמתעלה מעבר לצורה הקבועה ומסוגלת לנוע בין צורות המשתנות אחת לשנייה ועוברות מטמורפוזה מבלי לאבד את זהותן. עם התרגול בבנייה של מודלים בג"פ מתפתחת מודעות לתהליכי בניה המתרחשים לאורך זמן, כשצורות נוצרות ועולות מתוך יחסי גומלין בין ישויות גיאומטריות. זוהי צורת חשיבה שהעולם המדעי ברובו לא מורגל אליה, מתוך כך שהגיאומטריה היחידה הנלמדת בבתי ספר, בעיקר אלה הבנויים על בסיס הדגם האנגלי (שזה בערך כל העולם המדעי…), לקוחה מ-6 ספרים מתוך ה-13 שכתב אאוקלידס לפני יותר מ-2000 שנה.
הגתאניסטים מחיים מחדש את הג"פ הנשכחת
רודולף שטיינר, פילוסוף ואיש רוח, שערך את כתביו המדעיים של גתה להוצאת קירשנר של הספריה הלאומית הגרמנית ב-1883-9, גילה בגיאומטריה הפרויקטיבית מכשיר רב עוצמה לפיתוח הדמיון ולהבנת הקוטביות היוצרת שבעולם ובטבע (11). הוא מספר כיצד, עוד כילד בן 9, גילה את הגיאומטריה האאוקלידית, כיצד צמחה בו תחושה שלאדם יש מרחב פנימי המנותק מהמרחב החושי של העולם החיצוני, ובו הגיאומטריה נבנית בחשיבה ברוחו של האדם, אך עם זאת יש לה חשיבות של אמת גדולה ועצמאית שהיא מעבר לקיומו של האדם (2). בהרצאותיו אפיין שטיינר את הג"פ כגיאומטריה סינתטית, הוליסטית, שהמתנסה בה יכול להתחיל לחוש את הממד התודעתי-רוחני של העולם, כדרך של מתמטיקה איכותנית ולא כמותנית ומדידהּ (ראה ציטוט במבוא). בניגוד לגיאומטריה אנליטית שפותחה ע"י רנה דקרט, המפרקת את התופעה לרכיבים ולמשתנים בדידים ובודקת את היחסים ביניהם בעזרת משוואות, הג"פ היא כלי לתיאור של תופעות שלמות בעזרת קווים, נקודות ומישורים, והיא כוללת שני מרכיבים חשובים שהוזכרו כבר והודגשו ע"י שטיינר:
– האינסוף כמושג יישומי ונגיש. למשל: לקו הישר אין התחלה ואין סוף, אלא המשכיות דרך האינסוף אל נקודת ההתחלה שלו, וגם – לשני קווים מקבילים יש נקודה משותפת באינסוף.
– קוטביות והנגדה הנובעות מחוקיות מתמטית. הקוטביות מהווה כוח יוצר ויכולה להסביר תופעות רבות במרחב ובזמן.
שטיינר ייסד את מדע הרוח, האנתרופוסופיה, וטען כי כל אדם יכול ללמוד ולאמן חושים רוחניים, או במה שכינה במדויק יותר – ראייה על-חושית (clairvoyance). כאן המושג 'ראייה חושית רגילה' משמש מודל לתפיסה שהיא מעבר לחושים, כמו למשל התחושה שאתה יכול ל'ראות' את המחשבות של האחר, או 'לראות' רעיונות – תפיסה שהיא מעבר לחושים הרגילים של האדם, ובמיוחד של הראייה. ב'ראייה' זו תופס האדם את המרחב שמעבר לחומרים ולחפצים, את התכונות של עולם הרוח הקשור לעולם החומר ומעצב אותו, ע"פ שטיינר. בהוראתו, ניסה שטיינר להביא את האדם להכרה מודרנית רוחנית הנובעת מתוך חופש פנימי של תודעת ה"אני", בניגוד לתודעה הדתית של ימי קדם שהייתה כפויה ומצויה כחלק מהתרבות הכללית (2,3).
מי שהושפע מאד מאישיותו של רודולף שטיינר ונרתם בהתלהבות לבדיקת האינדיקציות שנתן לגבי הגיאומטריה היה George (Kaufman) Adams שנמשך למתמטיקה עוד כשלמד בקיימברידג' אצל Albert North Whitehead, ביחד עם הפילוסוף לעתיד Bertrand Russell והמתמטיקאי G.H. Hardy (2). מחקריו בכימיה ובתרמודינמיקה שכנעו אותו כי יהיה זה הכרחי להתגבר על הנטייה השלטת במדע לחשוב במונחים של האטום – תוצאה של דומיננטיות מתמשכת של השיטה האנליטית. בהמלצתו של Russell הגיע Adams ב-1913 לגיאומטריה של המיצוב (Geometry of Position), כפי שנקראה הג"פ ע"י מתמטיקאים במאה ה-19. די במהרה השתכנע כי הרעיונות העמוקים שבבסיס מדע הג"פ – ובמיוחד רעיון הדואליות (Polarity) – נועדו להביא לשינוי מהותי בגישה הכללית של המדעים לחקר תופעות הטבע. בחוקיות הדואליות-פולריות עומדים הנקודה והמישור זה מול זה בקוטביות, כאשר הקו הישר מתווך באיזון מושלם ביניהם (14). "Adams, שהיה בעל נשמה ואיש חושב, שאינו קשור בעבותות לנוקשות של האינטלקט ונוטֶה לרוח של תנועה יותר מאשר לרשמיות הצורה, ומחפש באש של אידיאליזם את ההרמוניה בין העולם החיצוני של מדעי הטבע לעולם מלא יותר ורוחני של התנסות פנימית, מצא בג"פ המודרנית פתח למעבר מחשיבה מנוכרת להכרה אחרת, מאוזנת יותר" (2, עמ' 8). ואת ההכרה החדשה הזו מצא בעזרתו של מורו הרוחני, רודולף שטיינר.
שטיינר, בעקבות לימוד אינטנסיבי של גתה, טען שאורגניזם שונה במהותו מחפץ דומם. ליצור החי יש נטייה פנימית שדוחפת ומארגנת אותו בהתאם לסביבה בה הוא חי, מתפתח, גדל ומתרבה (11a). הוא לכן מושפע מכוחות אחרים להם הוא קרא "אתריים" ואשר מושפעים גם מחוץ לכדור הארץ, מהשמש. האורגניזם, ובמיוחד הצמח, מצוי בין השמש המושכת ומכוונת אותו כלפי מעלה (פוטוטרופיזם בשפת המדע) לבין כדור הארץ המושך כלפי מטה (גיאוטרופיזם) (3). את החוקיות שבמרחב השמש, המרחב הקוסמי שמושך את הצמח כלפי מעלה, הראו Adams וממשיכיו בג"פ. שטיינר קרא למרחב זה של השמש "Die Gegenraum" – ה"מרחב הנגדי", מושג שהפך לנושא המחקר של Adams ואחריו Olive Whicher, Lawrence Edwards, Nick Thomas (13) ואחרים. רמז קטן להבנת המרחב הנגדי ניתן לקבל מהתחושה המתקבלת מהתבוננות במעגל הנוצר ממעטפת של קווים, לעומת התחושה ממעגל המתקבל מרדיוסים הקורנים ממרכז נקודתי (ציור מס' 6).

מעטפת מול מרכז
מעטפת מול מרכז

Adams פרסם מאמר ראשון בנושא "המרחב והמרחב הנגדי" ב-1933 בירחון Natura של הגתאנום (מרכז המחקר שהקים שטיינר בשוויץ), ואחריו אישר את מחקריו פרופ' Louis Locher-Ernst בצורה יבשה ומתמטית יותר. ואולם, המחקר הגדול שלו לא עבר ביקורת רצינית מאחר ובאותה תקופה היה פילוג בהנהגת הגתאנום, ו-Adams ניצב שם בחזית המאבק לחופש הפרט, מאבק שבגללו נאלץ לפרוש מהמוסד האירופאי, ולהתרכז בעבודתו באנגליה, במקביל ובגלל עליית הנאצים לשלטון ושנות המלחמה אחר כך (2).
צורות מעולם החיים
הגיאומטריה הפרויקטיבית נתפסת על ידי הגתאניסטים המודרניים שבאו אחרי Adams כמדע, היכול לתאר בצורה הרמונית והוליסטית צורות גיאומטריות בעולם הצומח והחי, כפי שמתאר Zajonc (1984):
"לגיאומטריה הפרויקטיבית תפיסה הרבה יותר דינמית והרבה יותר כוללנית מזו של אאוקלידס. ויתור על הנוקשות של הצורה ועל הגבלת התנועה של הגיאומטריה הקלסית מעלה אותנו בהדרגה לצורה זורמת ונהדרת של גיאומטריה, כזו שיכולה לעזור לנו לתפוס מעט מהמורפולוגיה של צורות חיות בטבע, בצמחים ובבעלי חיים".
תפיסה זו מקורה בראייתו של שטיינר את עולם החיים ואת הכוחות הפועלים בו בצורה שונה לגמרי מזו הפועלת בעולם הדומם, בהשראת מחקריו של גתה במורפולוגיה של הצמח ושל בעלי החיים. גתה הבין כי חוקי הסיבה והתוצאה המתגלים בפני החשיבה בעולם הדומם של הפיזיקה אינם יכולים לשמש גם להבנת היצורים החיים, מאחר ולאורגניזמים אין סיבה, ולכן גם לא יכול להיות להם הסבר. כדברי גתה "האורגניזם הוא ההסבר של עצמו" (11a), ולכן עלינו ללמוד להכיר אותו היטב בכל תכונותיו, ולאורך כל מחזור חייו. הכרות עם האורגניזם מאפשרת לחשיבה לקלוט את ה'טיפוס', ע"פ גתה, שהוא המהות המאפיינת את האורגניזם בסביבתו. מאחר ולכל אורגניזם יש דחף פנימי המכוון את גדילתו, תכונותיו, התרבותו וחייו בסביבתו, לא ניתן לדבר על גורמים סיבתיים חיצוניים לו, אלא רק על תנאים בסביבה אליהם הוא מסתגל ומתאים עצמו בגמישות וביעילות בהתאם ליכולותיו הפנימיות. שטיינר הוסיף ואמר כי הכרות עם תכונות המים חשובות ביותר להבנת הביולוגיה, מאחר והמים הם תנאי לחיים, ויצורים רבים בנויים על ונעזרים בתכונות המים (כמו למשל עלייה נימית בעצים, הידרודינמיקה בצורתם של דגים וכו') (12). ואמנם, להלן אראה כיצד הראה Lawrence Edwards כי עקומי הזרימה של המים זהים לאלה של צורות ביולוגיות רבות.
,Adams & Whicher כותבים בהקדמה לספרם (3) כי "התפיסה החדשה (שאנו מביאים) מאפשרת גישה לשלמות המהותית של יצורים חיים, ומשלימה בכך את הגישה החד-צדדית המחפשת את המקור לחיים בחלקיקים היותר קטנים של החומר". הם חיפשו, בהשראת שטיינר, את המאפיינים לגוף האתרי – אותו ארגון מבוסס מים שיש לצמחים, לבעלי חיים ולאדם, אשר בו מתרחשים תהליכי חיים כמו מטבוליזם, ייצור סוכרים ופירוקם וכו'. Whicher מספרת (2, עמ' 11) על רגע של גילוי, בו Adams הבין כי הצורות עצמן בעולם הצומח מראות דמיון מפתיע לגופים הנוצרים בג"פ, וכי צמיחה, גדילה ומטמורפוזה המתרחשים בצמח, מונחים כולם בקווים ובמישורי מעטפת המכוונים אותם מבחוץ, מן המרחב הנגדי, בדיוק כפי שהקווים הישרים היחידים בטבע – קרני האור – מכַוונות ועוטפות את המישורים של עלי הצמח הגדל.
בחקר המושגים 'המרחב הרגיל' ו'המרחב הנגדי' שערכו Adams וWhicher (14,3), נראה כי יש מאפיינים גיאומטריים ברורים לשני המרחבים, אותם ניתן לייחס למבנה הצמח ולמטמורפוזה שהוא עובר במהלך חייו מזרע לזרע. המרחב הפנימי של מעגל או אליפסה (או חתך קוני כשלהו) כמו גם של גוף חי כלשהו מאופיין בנקודות: הנקודה המרכזית ממנה יוצאים רדיוסים המגדירים את ההיקף, ונקודות רבות עד אינסוף הממלאות את המרחב הזה. במרחב הנגדי, המישור הוא האיבר הקוטבי של הנקודה, ובהגדרתו הקיצונית המישור המוחלט מצוי באינסוף, ואותו הגדיר כבר Felix Klein (1). על פי Adams ו-Whicher המישורים בונים מבחוץ את הגוף ומשיקים לו בכל נקודה ונקודה, ויוצרים מעין שדה יוצר המקים ובונה את הגוף מהמרחב הנגדי, כשם שקרני האור (קווים ישרים) הבאות מהשמש יוצרות את הקווים, המישורים והכדורים של הצמח. כמובן שהצורות בעולם התופעות הנגלות אינן מושלמות כמו בגיאומטריה, אך זו מראה תמונה אידאית אליה שואפים מופעי הצמח בעולם החומרי. למשל, בחלל שבין מישורי העלים הירוקים של נבט צעיר נוצר חרוט, וכשהם נפתחים וגדלים גדל גם החרוט ומשנה צורתו בהתאם – כל אלה ניתן להראות גם על נייר השרטוט של הגיאומטר (ישנן כיום תוכנות מעולות כמו geometer sketchpad שעושות זאת ב'לחיצת כפתור'. זוהי אפליקציה מעולה שכולה בנויה על חוקי הג"פ ויכולה לעזור בלימוד זה בכל גיל).
Adams ו-Whicher מסבירים את התופעות בעולם הצומח במונחים של שדות של כוחות, בדיוק כפי שהשדה האלקטרו-מגנטי מסביר תופעות של חשמל ומגנטיות כשני צדדים של אותו מטבע. השדה שמצוי סביב הצמח מזרים כוחות של צמיחה בקווים, נקודות ומישורים הניתנים לתיאור ולהסבר במשפטים הדואליים של הג"פ. תשומת הלב המחקרית מוסטת על ידם למישורים העוטפים את הגוף החי ולאו דווקא לנקודות מהן הוא מורכב; למרחב הנגדי של השמש היוצר גופים וצורות שעולות למעלה, במקביל לאטומים ולמולקולות הבונות את החומר בתוך השדה היוצר את הצורה בכדור הארץ. מחקר של גתאניסט נוסף, Theodor Schwenk, מראה דבר דומה בתנועות הזרימה של המים, כאשר צורות של מערבולות (vortex, vortices) מתגלות בגופים חיים כמו תפרחות, עלים של שרכים, שבלולים, קונכיות, קרניים ועוד. את קווי הזרימה של המערבולות ניתן לתאר בג"פ בצורה מדויקת ולהראות את חוקיותן המתמטית בצורה דואלית: הן במרחב הרגיל, כאוסף של נקודות, והן המרחב הנגדי כאוסף של מישורים וקווים משיקים (12).
הג"פ משמשת כאן את החוקרים למציאת דרכים להגיע אל תפיסה מיסטית, רוחנית, שהיא מעבר לראייה הפיזית של העצמים במרחב התופעות. המישורים היוצרים של שדה הצמיחה האתרי, כפי שמגדירים Adams ו-Whicher, מצויים במרחב הנגדי של התופעות החומריות, המטריאליסטיות, ולכן לא ניתן לראות אותם בעין הרגילה אלא רק 'לראות' את האמת שלהן בעזרת עיניים רוחניות, בתפיסה על-חושית, כפי שהיו עושים אולי ה'רואים' של הנצרות בימי הביניים (Nicolas of Cusan, למשל) כאשר הראייה הייתה מתנת אלוה שניתנה לטהורי הנפש בכדי לראות את מעשי האל בעולם. כאן, במאה ה-20, משמש המדע של הג"פ לאותה מטרה עצמה – לחשוף את הבלתי נגלה לחושים, את האידאי היוצר את החומרי, את שדה הכוחות הבלתי נגלה אשר בימי הביניים היה קשור בהכרה האנושית הנוצרית את המעשה האלוהי. תורה זו מזכירה גם את תורת השדה המורפי של Rupert Sheldrake בעזרתה הוא מסביר תופעות רבות בעולם החיים שלא הוסברו עד כה, כמו נדידת ציפורים ויוני דואר, טלפתיה אדם-כלב ואדם-אדם ועוד (שפע של מאמרים בנושא זה ניתן למצוא באתר הבית של Sheldrake.org).
בפרק הבא אתאר התפתחות נוספת של הג"פ שהביאה גם ליישומים מעשיים הלוקחים אותה לתוך המאה ה-21.
Path Curves – עקומי תנועה
בסוף המאה ה-19 הצליחו Felix Klein ו- Sophus Lie (10) לבנות מערכת מתוחכמת ומיוחדת של משטחים ועקומים בגיאומטריה החדשה המכונים path curves (עקומי תנועה או זרימה); אך מבנים מיוחדים אלה נשכחו מיד עם גילויים, כנראה בגלל חוסר עניין במורפולוגיה בכלל ובצורות באורגניזמים בפרט, והמעבר עם תחילת המאה ה-20 להפשטה גוברת והולכת בכל התחומים (מיקרו-ביולוגיה וביוכימיה, תורת הקוואנטים, תורת היחסות וכו'). Adams הציג את עקומי הזרימה לראשונה מחדש לכנס מתמטי של משוגעים לדבר ב-Forest-Row לונדון ב-1950 (10), ומאז הם מהווים נושא למחקר מסתעף שיתואר להלן.
עקומי זרימה נולדים מהטרנספורמציה הפרויקטיבית הפשוטה ביותר של מישור על עצמו, משל היינו מקרינים צורה המצויה במישור מסוים, יוצרים את הצל שלה, ומניעים את מישור הצל ומישור המקור כך, שהנקודות התאומות בשני המישורים ייצרו עקומים במרחב.

עקום זרימה Path Curve

במקרה המיוחד שבציור מס' 7, שני המישורים המוקרנים מקבילים (בעלי קו משותף באינסוף) ולכן יוצרים חרוטים המתפתלים בפריסה היפרבולית אחד מול השני. נקודות המפגש בין החרוטים יוצרות עקומי זרימה שבנייתם מזכירה מאד צורות טבעיות כמו ביצה, אצטרובל, ניצן ופרי. גודל העקום וצורתו נקבעים ע"י המכפיל של הספירלה העליונה וזה של התחתונה.
ב-1964 לקח על עצמו Lawrence Edwards (10) לחקור בצורה המדויקת ביותר האפשרית האם קיימות צורות בטבע החי המתאימות למודלים מתמטיים חשיבתיים אלה. בבנייה ראשונית של עקומי זרימה מהטיפוס הנ"ל, הגדיר Edwards משתנה בשם למבדה (λ) שהוא היחס המספרי בין הלוג של המכפיל העליון מול זה התחתון. למבדה (λ) מציין למעשה את מהירות הסיבוב של הקונוס היורד מול זו של הקונוס העולה. בנוסף, הגדיר משתנה בשם אפסילון (ϵ) המציין את תלילות הספירלה סביב הצורה. במחקר שהקיף כמעט את כל הצורות הידועות בעולם החי – הביצה, הלב, האצטרובל, הניצן, מערבולת המים ועוד צורות רבות אחרות – בדק Edwards בעבודת נמלים שנמשכה עשרות שנים (אחרי שיצא לפנסיה כמורה למתמטיקה…) את קרבתן של הצורות למודל המתמטי של הג"פ שלהם, והגיע לתוצאות מעניינות ביותר. הוא מצא שצורות רבות אלה ניתנות לתיאור מתמטי, והקירבה בין צורתן לבין מודל מתמטי זה יכולה להעיד על תנאי חייו של האורגניזם, על הסתגלותו לסביבות מסוימות ועל מחזורים עונתיים שהוא מושפע מהם. הספר שכתב על כך Edwards )10( מכיל רק חלק מאלפי הנתונים והממצאים של מחקרו, והם מפורטים ומגובים בצורה מתמטית ברמה גבוהה ביותר.

ערכי למבדה שונים

אחד הנושאים שחקר Edwards, ואשר נלקח למחקר המשך (8,5) הוא השתנותם של ניצני עלים בעצים נשירים בהתאמה לתנועתם ולמצבם של כוכבי לכת מסוימים בשמיים (ציור מס' 8). Edwards גילה כי יש מחזוריות בהשתנותן של צורות הניצנים, והם לכאורה 'נושמים' – מתרחבים ומתכווצים – במהלך כל החורף, כאשר הירח נמצא בקו אחד עם כוכב לכת מסוים. עץ האלון, למשל, נמצא בתיאום מלא עם מאדים, וכאשר הירח מגיע לקו ארץ-מאדים, ערך הלמבדה של הניצנים שלו יורד מאד והם מתכווצים. "התוצאות שהגעתי אליהן…מהפכניות…מאחר וניתן לראות כי תפקודיהם של הפלנטות והצמחים ארוגים בצורה אינטימית, כך שכל תנועה של כוכב גורמת לתנועה בצמח", כותב Edwards (10, עמ' 255). אחרי 9 שנים של מדידות לא היה לו ספק בכך – הניצנים נושמים ע"פ המחזוריות של הירח כמתווך בין כוכבי לכת מסוימים שיש להם קשר אליהם במיוחד. Edwards ראה בכך עדות לנשימה של אורגניזמים ביחד עם היקום כולו, ולאחדות השוררת בביוספרה ביחד עם השפעות הקוסמוס כולו על כולנו, וכן הבין כי גילה דרך לבדיקה איכותית של מצבם של צמחים ואורגניזמים בכלל.
מחקר זה זוכה למחקרי המשך, וישנה כיום תוכנה בקוד פתוח שפותחה במיוחד לחישוב ערכי למבדה של תמונות של ניצני צמחים [או פירות או כל עקום זרימה אחר בטבע] בסביבתם הטבעית, במטרה לאבחן שינויים בקווי המתאר שלהם הקשורים בעונות, ובמחזורי טבע נוספים (8). תחום מחקר זה שייך לכרונוביולוגיה, ענף בביולוגיה העוסק בהשפעתם של מחזורי זמן שונים, אשר בדרך כלל נקראים מחזורים צירקאדיים, על גדילתם של אורגניזמים. Renatus Derbidge (מידע בע"פ) עוסק בימים אלה בסיום כתיבת הדוקטורט שלו בגתאנום על שינויים בצורתם של פירות הדִבקון (Mistel), צמח שממנו מפיקים תרופה לסרטן שפותחה ע"י רופאים גתאניסטים שעבדו בהשראת רודולף שטיינר. מחקר זה, המבוסס על הג"פ של עקומי זרימה שפיתח Edwards, יכול לאפשר אבחון של מצבים שונים בפרי הדבקון בעלי איכויות שונות, ולשפר בכך את איכות התרופה המופקת מהם. נראה כי הג"פ הגיעה במחקר זה ליישום מעשי מעניין, וכל זאת תוך פיתוח גישה הוליסטית מורפולוגית גתאנית, הרואה את האורגניזם השלם ואת יחסי הגומלין בינו לבין הסביבה שלו, סביבה הכוללת גם את השמש, הירח וכוכבי הלכת.
סיכום
היכולת לראות את העולם בפרספקטיבה ולצייר תמונה ריאלית יותר של העולם על בד הקנבס סימנה נקודת מפנה ביחסיו של האדם לעולם עם תחילת המאה ה-15 באירופה. הראשונים שהחלו לצייר בפרפסקטיבה תלת ממדית הראו את הדרך למתמטיקאים, אשר התוו וקבעו את החוקיות של הגיאומטריה החדשה שהחלה להתפתח במאה ה-17. ראשונים אלה, למרות שנשכחו כמאה שנה, שימשו נדבך חשוב לעבודה מקפת שנעשתה במאה ה-19 ע"י Felix Klein, אשר הראה את האופי השלמותי והכולל שיש לגיאומטריה זו, שלימים נקראה פרויקטיבית.
כיוון חדש ורוחני נתן לג"פ רודולף שטיינר, אשר בהשראתו פותחה דרך ייחודית לתפיסה ביולוגית, הרואה את האורגניזם השלם ואת הצורות שהוא בונה במהלך חייו כמוקד להתבוננות וללמידה. צורות אורגניות מראות דמיון למשפטי הג"פ, ומראות זהות לעקומי זרימה: הן מתפתחות בזמן כמו טרנספורמציות גיאומטריות, מהוות תוצר של מפגשי מישורים במרחב ויכולות לכן להיות מתוארות במונחים מתמטיים. זהו מפגש בין שני עולמות: עולם התופעות של המורפולוגיה של אורגניזמים, ועולם החשיבה הטהורה שבכדי לפתח אותה יש להתנתק ממראות העולם וממופעי הביולוגיה. Edwards כותב בהקדמה לספרו (10) כי גתה עסק בהתבוננות חושית (percept) טהורה במסירות כזו ובהתעלמות מעצמו, בכדי שמתוך רשמי חושים אלה ידברו אליו המושגים (concept) כאילו מעצמם. אבל שטיינר המליץ לעסוק גם "בחשיבה נטולת חושים", וזהו הנתיב המתמטי של הג"פ אותו לקח Edwards אחרי Adams ו-Whicher. " שני הקטבים נעשים עבורנו צדדים תאומים של מציאות אחת. לתרגל חשיבה גתאנית-פולרית יהיה לכן להיות גתאניסט באותה רמה בדיוק!", כותב Edwards.
אבל על שאלה אחת לא מוכן Edwards לענות והיא: האם אותם עקומי זרימה, משטחים, ספירלות של מערבולות ומישורי מגע – האם הם נמצאים שם בטבע? במקום לענות ישירות, הוא מסכם ואומר כי המציאות בטבע יכולה להתבטא גם ברוחו של מתמטיקאי, וגם בעולם בצורות הרבות של החיים. אם נצליח להביא אותם יחד, להראות כי יש ביניהם גורמים משותפים, כי אז אנחנו עומדים בשעריו של ידע אמתי.

ספרות:

1. A’Campo N. & Papadopoulos A., (2014). On Klein’s So-called Non-Euclidean geometry. To appear in: Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen program and its impact in mathematics and physics (ed. L. Ji and A. Papadopoulos), European Mathematical Society Publishing House, 2014.
2. Adams G., (1977). George Adams- interpreter of Rudolf Steiner. Henry Goulden (private publisher).
3. Adams, G. & Whicher, O., (1980). The Plant between Sun and Earth, Rudolf Steiner Press, London.
4. Alexis Conrad (2000). Projective Geometry – The early years. History of Mathematics, Rutgers, spring 2000.
5. Baumgartner S., Fluckiger H. and Ramm H., (2004). Mistletoe berry shapes and the zodiac. Archetype. 10: 1-20.
6. Capra P., (2007). The Science of Leonardo. Kinneret, Zmora-Bitan, Dvir.
7. Coxeter H. S. M. (2003). Projective Geometry. Springer
8. Derbidge R., Feiten L., Conradt O., Heusser P. and Baumgartner S., (2013). Assessment of Shape Changes of Mistletoe Berries: A New Software Approach to Automatize the Parameterization of Path Curve Shaped Contours. PLoS ONE 8(4): e60522. doi: 10.1371/journal.pone.0060522
9. Edwards Lawernce, (1985). Projective Geometry. Floris Books.
10. Edwards Lawrence, (1993). The Vortex of Life- Nature's Patterns in Space and Time. Floris Press, Edinburgh.
11. Steiner R. (1921). Third Scientific Lecture-Course: Astronomy.
11a. Steiner R. (1988). Goethean Science. Rudulf Steiner Press, London.
12. Schwenk Theodor, (1964). Sensitive Chaos. Geistesleben Verlag.
13. Thomas, N.C.,(1999). Science between Space and Counterspace, New Science Books, London.
14. Whicher O., (1971). Projective Geometry- Creative Polarities in Space and Time. Rudolf Steiner Press, London.
15. Zajonc A., (1985). “The Geometry of Life: Towards a Science of Form," Orion Nature Quarterly, Winter 1985, pp. 48-59.

2 תגובות בנושא “האם לגיאומטריה פרויקטיבית תפקיד בפענוח צורות ביולוגיות ובמציאת החוקיות המתמטית שלהן?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *